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九年级上册第二十二章互动实验 × 1 分层练习 × 3

二次函数

投篮的弧线、喷泉的水柱、拱桥的形状——它们都是同一条曲线：抛物线。而抛物线的脾气，全写在 a、b、c 三个数字里。

这一节，你会做到

拖动 a、b、c，亲眼看到抛物线怎么变；
看懂 a 决定开口方向和胖瘦；
会求对称轴和顶点，并说出最大值或最小值。

先看看，它藏在哪儿

这些抛物线，你其实天天都见。

🏀 投篮的弧线球出手后先升后降，画出一条开口向下的抛物线。

⛲ 喷泉的水柱水从喷口射出，最高点就是抛物线顶点的位置。

🌉 拱桥的形状工程师用抛物线设计拱形，受力最均匀。

动手玩一玩

三个滑块，就是抛物线的三个“旋钮”。一个一个转，看它怎么变。

转一转三个旋钮

函数 y = ax² + bx + c。拖动下面三个滑块，注意开口方向、对称轴和顶点分别被谁控制。

a 1 b -4 c 3

y = x² − 4x + 3 开口向上对称轴 x = 2 顶点 (2, −1) 最小值 −1

动手试试：只把 a 从 1 调到 −1，开口就翻了个身；只把 b 从 −4 调到 0，对称轴就跑到了 y 轴上。你会发现：a 管开口，b 管左右，c 管上下。

一句话结论

y = ax² + bx + c

a ≠ 0 时，图像是一条抛物线。a > 0 开口向上，a < 0 开口向下；|a| 越大，开口越窄。

对称轴 x = −b / 2a，顶点坐标 (−b/2a, (4ac − b²)/4a)。顶点就是最值所在。

三个最容易踩的坑：

对称轴符号错。是 x = −b / 2a，负号别丢；b 是负数时，−b 就是正数。
a 为负时还找“最小值”。开口向下，顶点给的是最大值。
配方漏掉常数。y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1，那个 −1 不能丢。

练一练

三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。

基础

配方找顶点

求抛物线 y = x² − 4x + 3 的对称轴和顶点坐标。

① 配方：y = x² − 4x + 3 = (x² − 4x + 4) − 4 + 3 = (x − 2)² − 1。

② 写成顶点式 y = (x − 2)² − 1，对称轴是 x = 2。

③ 顶点坐标是 (2, −1)。也可以直接用公式：x = −b/2a = 4/2 = 2。

答：对称轴 x = 2，顶点 (2, −1)。

提升

开口方向与最值

抛物线 y = −2(x + 1)² + 3 的开口方向、顶点坐标分别是什么？它有最大值还是最小值？是多少？

① 这是顶点式 y = a(x − h)² + k，其中 a = −2，h = −1，k = 3。

② a = −2 < 0，所以开口向下。

③ 顶点坐标是 (−1, 3)。

④ 开口向下，顶点最高，所以有最大值，最大值是 3。

答：开口向下，顶点 (−1, 3)，最大值 3。

挑战

已知三点求解析式

一条抛物线经过 (1, 0)、(3, 0)、(0, 3) 三点，求它的解析式。

① 它经过 x 轴上的 (1, 0) 和 (3, 0)，用交点式最省事：设 y = a(x − 1)(x − 3)。

② 代入第三点 (0, 3)：3 = a(0 − 1)(0 − 3) = 3a。

③ 解得 a = 1。

④ 展开：y = (x − 1)(x − 3) = x² − 4x + 3。

答：y = x² − 4x + 3。

👨‍👩‍👧 家长提示

二次函数看着吓人，其实就是“三个数字决定一条曲线”。

怎么讲（30 秒版）

让孩子只盯住一个滑块，一次只变一个数，然后问他三句话：

“开口朝上还是朝下？对称轴在左边还是右边？最高（最低）点在哪儿？”

把这三个问题问熟，图像题就稳了一半。

孩子最常错在这四处

对称轴符号。是 −b/2a。b = −4 时，−b = 4，对称轴在右边。
a 为负还找最小值。开口向下，顶点给的是最大值。
配方丢常数。补了多少就要减回多少。
顶点式符号。y = a(x − h)² + k 里，顶点是 (h, k)，别写成 (−h, k)。

检查口诀

开口看 a，对称轴看 −b/2a，最值看顶点；代一个点验一验。

下一节预告：圆与切线 —— 一条直线什么时候刚好“擦”过圆？

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