基础
化简
化简：√18
① 找最大的完全平方因数：18 = 9 × 2。
② √18 = √9 × √2。
③ √9 = 3，所以是 3√2。
答：3√2。
二次根式
根号里的数不用一次性算完。找出藏在里面的“完全平方”，把它拎到根号外面来。
这一节，你会做到
- 看懂 √12 = 2√3 是怎么化简出来的；
- 会找出根号里的最大完全平方因数；
- 知道只有同类二次根式才能合并。
先看看，它藏在哪儿
只要遇到“平方根”，化简就会跟着来。
📐 对角线
边长 1 的正方形，对角线是 √2；边长 2 的，是 2√2。
🏗️ 斜坡
坡度算出来常常带根号，化到最简才好比较。
⚡ 物理公式
周期、速度的公式里，根号随处可见。
动手玩一玩
先拆，再合。
1
把完全平方拎出来
一个面积 n 的正方形，边长就是 √n。如果 n 里藏着完全平方（4、9、16…）， 这个大正方形就能切成几块小正方形——边长就能写成“几倍 √m”。
√12 = √(4×3) = 2√3
≈ 3.464
2
同类才能合并
k 个 √3 加 j 个 √3，就是 (k+j) 个 √3——跟 2 个苹果加 3 个苹果一个道理。 但 √3 和 √2 不是同类，加不到一起。
2√3 + 3√3 = 5√3
√3 + √2 不能合并
?
小挑战：√18 化简后是什么？
18 里面藏着哪个完全平方？
一句话结论
能开方的先开，能合并的再合
√(ab) = √a · √b（a ≥ 0，b ≥ 0）。化简时把根号里的数拆成“完全平方 × 剩下的”， 完全平方开出来放前面；被开方数相同的二次根式才能合并。
√(a+b) ≠ √a + √b，这一条最容易错。
三个最容易踩的坑：
- √(a+b) 拆成 √a + √b。根号只管相乘，不管相加。
- 没化到最简。√18 写成 3√2，不能停在 √18。
- 乱合并。√2 + √3 就到这儿为止，不能写成 √5。
练一练
三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。
提升
先化简再合并
计算：√8 + √2
① 先化简 √8：8 = 4 × 2，√8 = 2√2。
② 现在变成 2√2 + √2，被开方数都是 2，是同类。
③ 系数相加：2 + 1 = 3。
答：3√2。
挑战
乘法
计算：√12 × √3
① 根号相乘，被开方数相乘：√(12 × 3) = √36。
② 36 是完全平方。
③ √36 = 6。
答：6。
👨👩👧 家长提示
这一节的难点不是算，是“什么时候能拆、什么时候不能拆”。
为什么这一节是整册的地基
二次根式是数系扩张的延续：从有理数到实数，根号是必经的一道门。 往后勾股定理求斜边、一元二次方程的求根公式、三角函数值， 结果常常带根号，不会化简就没法比较、没法代入。
它练的是一种“先看结构再动手”的习惯：看到 √18，先想 18 能不能拆， 而不是直接按计算器。
怎么讲（30 秒版）
用面积讲最直观：
“一个面积 12 的正方形，能不能切成 4 块一样的小正方形？能——那每块面积就是 3，边长就是 √3，四块拼起来就是 2√3。”
然后让他在实验一里拖 n，找哪些数能“切成方块”。
孩子最常错在这四处
- √(a+b) = √a+√b。最典型的错，用具体数字代进去就能戳破。
- 化到一半就停。√18 写成 √9·√2 却不再化简。
- 不同类硬合并。√2+√3 写成 √5。
- 忘记 a ≥ 0 的条件。根号里的数不能是负的，写答案时漏掉条件。
检查口诀
乘能拆，加不能拆；拆完再合，被开方数相同才合。