基础
对应边成比例
两个相似三角形，对应边的比是 1:3。小三角形周长 8，大三角形周长多少？
① 相似三角形的周长比，等于对应边的比。
② 所以周长比也是 1:3。
③ 8 × 3 = 24。
答：24。
相似与锐角三角函数
形状一样、大小不同，叫相似。正因为相似，角度才被单独拿出来当“尺子”用。
这一节，你会做到
- 记住相似三角形的两条：对应角相等、对应边成比例；
- 知道放大缩小时，角一点都不变；
- 看懂 sin、cos、tan 为什么只跟角有关，跟三角形大小无关。
先看看，它藏在哪儿
同一张照片放大，内容完全一样，只是尺寸变了。
🗺️ 地图比例尺
1:100000 的地图，形状和真实地形相似。
🌳 影子测高
同一时刻，影长和物高成正比，不用爬树也能量。
🪜 楼梯坡度
同样陡的楼梯，大小不同，倾斜角一样。
动手玩一玩
先放大，再算三角。
1
放大缩小，角一个都不动
灰色是原三角形，蓝色是放大后的。拖动滑块改变倍数， 三条边一起按同一个比例变长，三个角一点都不变。
对应边之比都是 1.4 : 1
三个角完全相等
2
sin、cos 只跟角有关
直角三角形的斜边长固定为 1。拖动滑块改变 ∠A，对边和邻边就会变。 注意：对边 ÷ 斜边这个比值，叫 sinA，它只由角决定。
sin 35° = 0.574
cos 35° = 0.819
tan 35° = 0.700
?
小挑战：直角三角形里，∠A = 30°，斜边 10，∠A 的对边多长？
sin30° = 0.5，用这个。
一句话结论
角不变，比值就不变
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。在直角三角形中， sinA = 对边 ÷ 斜边，cosA = 邻边 ÷ 斜边，tanA = 对边 ÷ 邻边——这些比值只由 ∠A 决定。
正因为比值只跟角有关，我们才能用“角”去算“边”。
三个最容易踩的坑：
- 对应边找错。相等的角所对的边，才是对应边。
- 把 sin 当成角。sinA 是一个比值，不是度数。
- 比例写反。大比小还是小比大，要看题目问谁比谁。
练一练
三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。
提升
用 sin 求边
直角三角形中，∠A = 30°，斜边 10，求 ∠A 的对边。
① sinA = 对边 ÷ 斜边，所以 对边 = 斜边 × sinA。
② sin30° = 0.5。
③ 10 × 0.5 = 5。
答：5。
挑战
影子测树
同一时刻，1.5 米高的人影长 1 米，旁边一棵树的影长 4 米。树有多高？
① 同一时刻，物高和影长成比例（相似三角形）。
② 设树高 x：x ÷ 4 = 1.5 ÷ 1。
③ x = 4 × 1.5 = 6。
答：树高 6 米。
👨👩👧 家长提示
这一节把“图形”和“计算”接了起来，是初中几何的最后一站。
为什么这一节是整册的地基
相似是初中几何的收官：前面的三角形、四边形、圆，到这里都用“比例”串起来了。 而锐角三角函数，是第一次把角变成数——从此角也能参与计算。
高中一开学就是三角函数，大学物理、工程测量、计算机图形学，全靠这一节打底。 这里没学明白，后面看公式只能是天书。
怎么讲（30 秒版）
用照片放大：
“同一张照片放大两倍，里面的人脸变长了吗？没有，只是变大了——这就是相似。”
然后让他在实验二里拖 ∠A，看 sin、cos 的值怎么跟着变。
孩子最常错在这四处
- 对应边配错。一定要先找相等的角，再找它对着的边。
- 把 sinA 当角度。它是比值，没有单位。
- 比例写反。问“大比小”就别写“小比大”。
- 用错三角函数。对边用 sin，邻边用 cos，别混。
检查口诀
先找等角，再找对应边；对边比斜边是 sin，邻边比斜边是 cos。