基础
求算术平方根
求 9 的算术平方根。
① 算术平方根问的是：哪个非负数的平方等于 9？
② 3² = 9，而且 3 是非负数。
③ 注意别和“平方根”混：9 的平方根是 ±3。
答：算术平方根是 3。
平方根与无理数
一个正方形的面积是 2，它的边长是多少？这个数写不到底，却真实地待在数轴上。
这一节，你会做到
- 看懂 √2 到底是什么：面积 2 的正方形的边长；
- 知道它为什么叫无理数——写不成分数，小数也永远算不完；
- 在数轴上亲手把它标出来，看见“无限不循环”也有确定的位置。
先看看，它藏在哪儿
只要涉及“边长和面积”，就会撞上开平方。
📄 A4 纸
长宽比是 √2 : 1，对折以后比例一点都不变。
🧱 地砖
知道一块砖的面积，边长就得开平方算出来。
📐 斜边
直角边都是 1 的三角形，斜边正好是 √2。
动手玩一玩
先看边长，再上数轴。
1
面积定了，边长就定了
拖动滑块改面积，正方形会跟着长大或缩小。当面积是 1、4、9 的时候，边长是整数； 面积是 2 的时候，边长就是那个“算不完”的数。
边长 ≈ 1.414
面积 2 → 边长 √2
2
把 √2 放到数轴上
边长为 1 的正方形，对角线就是 √2。把这条对角线“转”到数轴上， 落点就是 √2。点一下按钮看它转。
对角线长 √2 ≈ 1.414
它落在 1 和 2 之间
?
小挑战：√2 是分数吗？
它的小数是 1.41421356……，一直写下去，也不循环。
一句话结论
写不到底，但它有位置
无限不循环小数叫无理数，√2 就是其中一个。它不是“约等于 1.414”， 1.414 只是它的近似值；它真实地待在数轴上 1 和 2 之间。
有理数和无理数合起来，就是实数——数轴上的每个点都对应一个实数。
三个最容易踩的坑：
- 把 √2 当成 1.414。那是近似值，写 ≈ 号才准确。
- 以为小数都是有理数。要看它是“有限”还是“无限循环”，无限不循环不是。
- 觉得无限就没法比大小。√2 就在 1 和 2 之间，位置是确定的。
练一练
三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。
提升
估一估
√2 在哪两个整数之间？为什么？
① 1² = 1，2² = 4，而 1 < 2 < 4。
② 面积 2 的正方形，比边长 1 的大，比边长 2 的小。
③ 所以它的边长在 1 和 2 之间。
答：1 < √2 < 2。
挑战
边长翻倍
一个正方形的面积是 2，边长是 √2。如果把边长扩大到原来的 2 倍，新正方形的面积是多少？
① 新边长 = 2 × √2。
② 面积 = 边长 × 边长 = (2√2)² = 4 × 2 = 8。
③ 也可以这样想：边长变 2 倍，面积变 2² = 4 倍，2 × 4 = 8。
答：8。
👨👩👧 家长提示
这一节会让孩子有点不适应：居然有个数写不完。这是好事。
为什么这一节是整册的地基
这是孩子第一次遇到“算不完的数”。在此之前，数学里的答案都很干净； 从这以后，答案可以是一个无限不循环的小数，而且它完全合法。
这一步跨过去，数系就从有理数扩到了实数，后面的勾股定理求斜边、 二次根式、一元二次方程的根、函数的值域，全都要跟无理数打交道。 跨不过去，孩子会一直觉得“这个数怪怪的”，从而不敢用。
怎么讲（30 秒版）
别先讲符号，先讲面积：
“一张正方形桌子的桌面是 2 平方米，那它的边有多长？你量得出来，但写不完整。”
然后让他点实验二的「转到数轴上」，看那个点稳稳落在 1 和 2 之间。
孩子最常错在这四处
- 把 √2 直接写成 1.414。那是近似值，要用 ≈。
- 算术平方根和平方根混。9 的算术平方根是 3，平方根是 ±3。
- 觉得无理数“不真实”。用数轴上的位置纠正：它在，而且只有一个。
- 估算时把范围写反。√2 比 1 大比 2 小，用平方去验证最快。
检查口诀
开方先看平方，估算先看夹在谁之间；无限不循环，就是无理数。